Question

已知AD、BE、CF为△ABC的三条高（D、E、F为垂足），∠ABC=45°，∠C=60°，则

DE

DF

的值是 （　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：判断出△ABD与△BCF均是等腰直角三角形，据此得到

BF

BC

=

BD

AB

=

2

2

，∠ABC=∠ABC，从而知道△BFD∽△BCA，据此推出

DF

AC

=

2

2

，然后根据△CDE∽△CBA，求出

DE

AB

=

CD

AC

=

1

2

，将

DE

DF

转化为

2 AB

2AC

，根据等腰直角三角形的性质，得出AD=a，则AB=

2

a，AC=

2a

3

，代入

2 AB

2AC

即可求解．

解答：解：∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，∠BCF=45°，
∴△ABD与△BCF均是等腰直角三角形，
∵

BF

BC

=

BD

AB

=

2

2

，∠ABC=∠ABC，
∴△BFD∽△BCA，
∴

DF

AC

=

2

2

，
同理可得，△CDE∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CD

AC

=

1

2

，
故DF=

2

2

AC，DE=

1

2

AB，
∴

DE

DF

=

1 2 AB

2 2 AC

=

2 AB

2AC

，
设AD=a，则AB=

2

a，AC=

2a

3

，

DE

DF

=

2 AB

2AC

=

2 × 2 a

2× 2a 3

=

3

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用图中的等腰直角三角形找到相关相似三角形是解答的关键．