Question

【题目】如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接BO，CO，可以证明△OBD≌△OCE，得到BD=CE，OD=OE，从而判断①正确；

通过特殊位置，当D与B重合时，E与C重合，可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小，从而判断②错误；

由△OBD≌△OCE，得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积，从而判断③正确；

过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=．由BD=EC，BC=4，得到BE=4－x，IE= ．在Rt△DIE中，DE== =，△BDE的周长=BD+BE+DE= 4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，从而判断出④正确．

连接BO，CO，过O作OH⊥BC于H．

∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．

∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；

当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误；

∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2．

∵∠OBH=30°，∴OH=BH=，∴△OBC的面积==．

∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=，故③正确；

过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=．

∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=．在Rt△DIE中，DE== = =，当x=2时，DE的值最小为2，△BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，∴△BDE的周长的最小值=4+2=6．故④正确．

故选C．