Question

11．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB=OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．
（1）依题意补全图1；
（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；
②连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形即可；
（2）①过B作BE⊥x轴于E，则四边形AOEB是矩形，根据矩形的想知道的BE=AO，∠ABE=90°，等量代换得到AB=BE推出△ABC≌△BDE，根据全等三角形的性质得到AC=DE，等量代换即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到BC=BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠BHC=90°推出A，C，H，B四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图1所示，
（2）①OA+AC=OD，
过B作BE⊥x轴于E，
则四边形AOEB是矩形，
∴BE=AO，∠ABE=90°，
∵AB=AO，
∴AB=BE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC与△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BED}\\{∠ABC=∠DBE}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BDE，
∴AC=DE，
∵OE=AB=OA，
∴AO+AC=OD；
②如图2，由（1）知：△ABC≌△BDE，
∴BC=BD，
∵BD⊥BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∵BH平分∠CBD，
∴∠BHC=90°，∵∠BAO=90°，
∴A，C，H，B四点共圆，
∴∠BAH=∠BCH=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，正确的画出图形是解题的关键．