Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．

(1)证明PA是⊙O的切线；

(2)求点B的坐标；

(3)求直线AB的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)证明：依题意可知，A(0，2) 　　∵A(0，2)，P(4，2)， 　　∴AP∥x轴． 　　∴∠OAP＝90°，且点A在⊙O上， 　　∴PA是⊙O的切线； 　　(2)解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D， 　　∵PB切⊙O于点B， 　　∴∠OBP＝90°，即∠OBP＝∠PEC， 　　又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PEC． 　　∴△OBC≌△PEC． 　　∴OC＝PC． 　　(或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC＝PC也可) 　　设OC＝PC＝x， 　　则有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x， 　　在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2， 　　∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝，　4分 　　∴BC＝CE＝4－＝， 　　∵OB·BC＝OC·BD，即×2×＝××BD，∴BD＝． 　　∴OD＝＝＝， 　　由点B在第四象限可知B(，)； 　　解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D， 　　∵PB切⊙O于点B， 　　∴∠OBP＝90°即∠OBP＝∠PEC． 　　又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PEC， 　　∴△OBC≌△PEC． 　　∴OC＝PC(或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC＝PC也可) 　　设OC＝PC＝x， 　　则有OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x， 　　在Rt△PCE中，∵PC2＝CE2＋PE2， 　　∴x2＝(4－x)2＋22，解得x＝，　4分 　　∴BC＝CE＝4－＝， 　　∵BD∥x轴， 　　∴∠COB＝∠OBD， 　　又∵∠OBC＝∠BDO＝90°， 　　∴△OBC∽△BDO，∴＝＝， 　　即＝＝． 　　∴BD＝，OD＝． 　　由点B在第四象限可知B(，)； 　　(3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 　　由A(0，2)，B(，)，可得； 　　解得∴直线AB的解析式为y＝－2x＋2． 　　[考点解剖]本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等． 　　[解题思路](1)点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA(∠OAP＝90°)即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP＋∠AOC＝180°得∠OAP＝90°；(2)要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中，PE＝OA＝2，PC＋CE＝OE＝4，列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD，再求OD即可求得点B的坐标；(3)已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式． 　　[解答过程]略． 　　[方法规律]从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法． 　　[关键词]切线　点的坐标　待定系数法求解析式