题目内容
如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为______；
（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）因为y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-
，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（
-2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），P4（
，0），即可得出答案；
（4）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-
x2+x+3上，得出Q点坐标为（x，-
x2+x+3），连接OQ，根据S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，代入求出即可．
解答：
解：（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-
，
∴所求解析式为：y=-
x2+x+3，
答：这个二次函数的解析式是y=-
x2+x+3．
（2）解：（6，0），
故答案为：（6，0）．
（3）解：在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=
，
，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-
，0）；
②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（
-2，0）；
③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），
在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32
解得：x=
，
∴P4（
，0）；
答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（-2-
，0）或（
-2，0）或（2，0）或（
，0）．
（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-
x2+x+3上，
即：Q点坐标为（x，-
x2+x+3），
连接OQ，
S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，
=3+
x+3（-
x2+x+3）
=-
x2+
x+12，
∵a＜0，
∴S四边形ABQC最大值=
，
Q点坐标为（3，
），
答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，
），面积的最大值是
．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．
（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC，根据等腰三角形的性质求出，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-
，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（
-2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），P4（
，0），即可得出答案；（4）设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-
x2+x+3上，得出Q点坐标为（x，-
x2+x+3），连接OQ，根据S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，代入求出即可．解答：
解：（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），∴c=3，a=-
，∴所求解析式为：y=-
x2+x+3，答：这个二次函数的解析式是y=-
x2+x+3．（2）解：（6，0），
故答案为：（6，0）．
（3）解：在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=
，，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-
，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（
-2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；
④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），
在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32
解得：x=
，∴P4（
，0）；答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（-2-
，0）或（
-2，0）或（2，0）或（
，0）．（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-
x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，-
x2+x+3），连接OQ，
S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ，
=3+
x+3（-
x2+x+3）=-
x2+
x+12，∵a＜0，
∴S四边形ABQC最大值=
，Q点坐标为（3，
），答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，
），面积的最大值是
．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
如图，二次函数的图象经过点D（0，
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数解析式．
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b