题目内容
已知线段AC=8，BD=6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1=
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
分析：（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．
解答：解：（1）S1=24，S2=24，S3=24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC=
AC•OB，S△DAC=
AC•OD，
∴S四边形ABCD=
AC•OB+
AC•OD=
AC•（OB+OD）=
AC•BD=24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD=
AO•BD，S△BCD=
CO•BD，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
AO•BD+
CO•BD=
BD（AO+CO）=
BD•AC=24．
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC=
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∴S四边形ABCD=
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（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD=
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∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
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点评：此题注意发现：对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半．
练习册系列答案
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