Question

已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S₁，S₂和S₃，则S₁=

24

，S₂=

24

，S₃=

24

；
（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）把四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和，然后列式求解即可；
（2）猜想，四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半，然后根据四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和进行证明．

解答：解：（1）S₁=

1

2

×6×3+

1

2

×6×5=9+15=24，
S₂=

1

2

×6×4+

1

2

×6×4=12+12=24，
S₃=

1

2

×6×6+

1

2

×6×2=18+6=24；

（2）猜想四边形ABCD面积为24，
理由如下：S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
=

1

2

BD•AO+

1

2

BD•CO，
=

1

2

BD（AO+CO），
=

1

2

BD•AC，
=

1

2

×8×6，
=24．

点评：本题考查了多边形，三角形的面积，把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是解题的关键，利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一．