Question

如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在

点O处，OE ，OF分别交AB，BC于点M ，N.

（1）求证：OM=ON；

（2）写出线段BM ，BN与AB之间的数量关系，并进行证明；

（3）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段BM ，BN

与AB之间的数量关系，并进行证明.

Answer 1

（1）证明：取BC的中点G，连接OG

∵菱形ABCD,∠A=60°

 ∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA

 ∵点O为菱形ABCD的对称中心

  ∴OD=OB

  ∴，OG//CD 

∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB

∵等边△OEF       ∴∠EOF=60°    ∴∠1=∠2

  ∵∠BGO=∠ABD=60°

∴△OBM≌△OGN

∴OM=ON               

(2)由（1）可知，BM=NG

∵OB=OD，BG=GC             ∴     

∵BG=BN+NG，AB=BC         ∴

（3）取BC中点G     同理可证：∴△OBM≌△OGN

∴BM=GN        

∴BG=BN-NG    

∵     ∴