Question

己知：如图，△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为腰作等腰三角形△AMN，且∠AMN=∠ABC．连接CN．求证：
（1）△BAC∽△MAN；
（2）∠BAC=∠CAN；
（3）∠ABC=∠ACN．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）由BA=BC，MA=MN，可得

BA

MA

=

BC

MN

，又由∠ABC=∠AMN，可证得△BAC∽△MAN；
（2）由（1）知，∠BAC=∠MAN，则可证得∠BAC=∠CAN；
（3）易证得△BAM∽△CAN．则可得∠ABC=∠ACN．

解答：证明：（1）∵BA=BC，MA=MN，
∴

BA

MA

=

BC

MN

，
又∵∠ABC=∠AMN，
∴△BAC∽△MAN；

（2）由（1）知，∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，
∴∠BAM=∠CAN；

（3）由（2）知∠BAM=∠CAN，
由（1）知

BA

MA

=

AC

AN

，
∴△BAM∽△CAN．
∴∠ABC=∠ACN．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．