题目内容

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于D点，DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，试说明AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，试求⊙O的半径r及 $数学公式$ 的值．

（1）证明：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆．
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连接OD．
∵∠C=90°
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
∵OB=OD
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB+∠BDC=90°
∴∠ODC=90°，
又∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+CA²=9²+12²=225
∴AB=15．
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90°
∴△ADO∽△ACB．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴r= $\text{[math]}$
∴BE=2r= $\text{[math]}$ ，
又∵BE是⊙O的直径
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要证明AD为切线，就必须证明OD和AC垂直，即∠ODC=90°；
（2）求 $\text{[math]}$ 的值，因为EF和AC平行，所以有△BEF∽△BAC，即只要求出 $\text{[math]}$ 即可．
点评：此题主要考查了三角形相似的判定，以及勾股定理的应用．