Question

（2013•苍梧县一模）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DB=8，DE=2

7

，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，求出OD⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）求出BE长，证△ADB∽△DEB，求出AD，根据△搞定了求出AB，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线；

（2）解：在Rt△BDE中，DB=8，DE=2

7

，由搞定了得：BE=6，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠DBO，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠ADB=90°，
∴∠DAB=180°-90°-∠DBO，∠EDB=90°-∠ODB，
∴∠DAB=∠EDB，
∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴△ADB∽△DEB，
∴

DE

AD

=

BE

BD

，
∴

2 7

AD

=

6

8

，
∴AD=

8 7

3

，
由勾股定理得：AB=

AD2+DB2

=

32

3

，
即⊙O半径长是

16

3

．

点评：本题考查了切线判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．