Question

如图，在等边△ABC中，点D、E分别为AB、AC边的中点，点F为BC边上一点，CF=1，连接DF，以DF为边作等边△DFG，连接AG，且∠DAG=90°，则线段EF的长为________．

Answer 1

分析：连接DE，根据等边三角形性质得出AB=AC=BC，∠B=∠C=∠BAC=60°，根据三角形的中位线求出ADAB，AE=AC，得出△ADE是等边三角形，推出AD=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，求出∠ADG=∠EDF，证△ADG≌△EDF，推出∠DAG=∠DEF，求出∠EFC=∠DEF=90°，根据勾股定理求出即可．
解答：连接DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，○B=∠C=∠BAC=60°，
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴ADAB，AE=AC，
∴DE∥BC，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠ADG+∠GDE=60°，
∵△DFG是等边三角形，
∴DG=DF，∠GDF=∠EDG+∠EDF=60°，
∴∠ADG=∠EDF，
在△ADG和△EDF中

∴△ADG≌△EDF（SAS），
∴∠DAG=∠DEF，
∵∠DAG=90°，
∴∠DEF=90°，
∵DE∥BC，
∴∠EFC=∠DEF=90°，
∵CF=1，∠C=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2，由勾股定理得：EF=，
故答案为：．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．