Question

6．如图，AD是△ABC的角平分线，点P在AD上，过点P作PE∥AB，PF∥AC，分别交BC于点E、F．
（1）在图中画出线段PE和PF；
（2）点D到PE和PF的距离相等吗？请说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，△PED≌△PFD（请填写一个合适的条件）？

Answer 1

分析 （1）根据平行线的画法画出线段PE和PF即可．
（2）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（3）要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠EPD=∠FPD，还有一条公共边PD=PD，具备一角，一边分别对应相等，只要再任意一角能使得三角形全等，于是答案可得．

解答 （1）解：画出线段PE和PF如图所示：

（2）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EPD=∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（3）解：添加AB=AC，可根据等边对等角得出∠B=∠C，
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠PED=∠B，∠PFD=∠C，
∴∠PED=∠PFD，
所以可根据AAS判定△PED≌△PFD．

点评 此题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及三角形全等的判定．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．