题目内容

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，
（1）求AB的长．
（2）求△AED的面积．

解：（1）∵AB∥DC，且∠B=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°及∠C=90度．
∴∠AEB+∠CED=90度．
故∠BAE=∠CED．
∴△EAB∽△DEC．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又BE：EC=1：2，且BC=12及DC=7，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
则AB= $\text{[math]}$ ．
（2）∵△EAB∽△DEC，
∴ $\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：CD=7
∴S_△AED=S_梯形ABCD-S_△ABE-S_△ECD= $\text{[math]}$ （AB+CD）•BC- $\text{[math]}$ AB•BE- $\text{[math]}$ EC•CD= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +7）•12- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4- $\text{[math]}$ ×8×7= $\text{[math]}$
分析：（1）由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．
（2）根据证得的△EAB∽△DEC利用相似三角形对应边的比成比例求得线段CD的长，利用梯形的面积减去两个三角形的面积即可求得三角形AED的面积．
点评：本题考查了相似三角形的性质及判定，解题的关键是正确的利用相似三角形的对应边成比例求得相应的线段的长．