题目内容
（2013•盐都区一模）已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒
个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒
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①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
分析：（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．
（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t 表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三种情况讨论：
1、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
2、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
3、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
1、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
2、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
3、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．
（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t 表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三种情况讨论：
1、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
2、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
3、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
1、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
2、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
3、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．
解答：解：（1）由题意得
解得：a=
，b=-
．
（2）①由（1）知二次函数为y=
x2-
x-2
∵A（4，0），∴B（-1，0），C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2
，BC=
∴AC2+BC2=25=AB2
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°
∵AE=2t，AF=
t，∴
=
=
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；
由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=
AE=t
假设△DCF为直角三角形
当点F在线段AC上时
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2
∴AE=
AB=
t=
÷2=
；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3
∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1
∴AD=3，∴AE=
∴t=
；
当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=
或t=
．
②ⅰ）当0＜t≤
时，重叠部分为△DEF，如图1、图2
∴S=
×2t×t=t2；
ⅱ）当
＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4
过点G作GH⊥BE于H，设GH=x
则BH=
，DH=2x，∴DB=
∵DB=AD-AB=4t-5
∴
=4t-5，∴x=
（4t-5）
∴S=S△DEF-S△DBG=
×2t×t-
（4t-5）×
（4t-5）=-
t2+
t-
；
ⅲ）当2＜t≤
时，重叠部分为△BEG，如图5
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t）
∴S=
×（5-2t）×2（5-2t）=4t2-20t+25．
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解得：a=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）①由（1）知二次函数为y=| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵A（4，0），∴B（-1，0），C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2
| 5 |
| 5 |
∴AC2+BC2=25=AB2
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°
∵AE=2t，AF=
| 5 |
| AF |
| AE |
| AB |
| AC |
| ||
| 2 |
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；
由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=
| 1 |
| 2 |
假设△DCF为直角三角形
当点F在线段AC上时
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2
∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
t=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
ⅱ）若D为直角顶点，如图3
∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1
∴AD=3，∴AE=| 3 |
| 2 |
∴t=
| 3 |
| 4 |
当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
②ⅰ）当0＜t≤
| 5 |
| 4 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
ⅱ）当
| 5 |
| 4 |
过点G作GH⊥BE于H，设GH=x
则BH=
| x |
| 2 |
| 3x |
| 2 |
∵DB=AD-AB=4t-5
∴
| 3x |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
∴S=S△DEF-S△DBG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 13 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
ⅲ）当2＜t≤
| 5 |
| 2 |
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t）
∴S=
| 1 |
| 2 |
点评：此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．
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