题目内容
【题目】（问题情境）
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC
小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）…
小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE． 可以证得：AE=DE（如图3）…
请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．
（变式探究）
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4），AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．
（迁移拓展）
△ABC中，∠B=2∠C． 求证：AC2=AB2+ABBC． （如图5）
【答案】见解析
【解析】
试题问题情境：小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，由角平分线的性质就可以得出∠DAB=∠DAE，再证明△ADB≌ADE就可以得出结论；小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．就可以得出∠E=∠C，就有AE=AC，进而得出AE=ED即可；
变式探究：CD上截取DE=DB，连结AE，由AD⊥BC就可以得出AE=AB，∠AED=∠B，由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC，进而得出结论；
迁移拓展：过点A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=BC（CD﹣BD），由（2）的结论就可以得出AC2﹣AB2=BC（CD﹣BD）=BCAB即可．
解：问题情境：小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠ABD=∠AED
∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
即AB+BD=AC；
小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．
∴∠E=∠BAE．
∵∠ABC=∠E+∠BAE，
∴∠ABC=2∠E．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C，
∴△AEC是等腰三角形．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC．
∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE
∴∠ADE=∠DAE，
∴EA=ED=AC，
∴AB+BD=AC；
变式探究：
AB+BD=AC不成立 正确结论：AB+BD=CD…（5分）
理由：如图4，在CD上截取DE=DB，连结AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的中垂线，
∴AE=AB，
∴∠B=∠AED．
∵∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=EC．
即AB+BD=CD；
迁移拓展：
证明：如图5，过点A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，
∴AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=（CD+BD）（CD﹣BD）=BC（CD﹣BD）
∵AB+BD=CD，
∴CD﹣BD=AB，
∴AC2﹣AB2=BC（CD﹣BD）=BCAB，
即AC2=AB2+ABBC．
