题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2BC= $数学公式$ ．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点C关于原点的对称点为C′，试问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线BC上异于点B、点C的一个动点，过点P作x轴的平行线交直线AC于点Q，过点Q作QM垂直于x轴于点M，再过点P作PN垂直于x轴于点N，得到矩形PQMN．则在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．

解：（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k，
∵AC=2BC=2 $\text{[math]}$ ，∠ACB=90°，
∴（2 $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²=（5k）²，
解得：k=1，
∴OB=1，OA=4，
∴A（-4，0），B（1，0），
∵OC= $\text{[math]}$ =2，
∴C（0，-2）；

（2）如图1，连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G．
连接GB，BC′，
∵点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2），
∴C′（0，2），
∵A（-4，0），B（1，0），
∴直线AC′的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+2，
直线l的解析式为：x=- $\text{[math]}$ ，
∴点G（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∵BC′= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，AC′= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∴△GBC′的最小周长为：
GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3 $\text{[math]}$ ；

（3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方．
当点P在线段BC之间时（如图2），

设正方形PQMN的边长为t．
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）
∴直线AC的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x-2，
直线BC的解析式为：y=2x-2，
∴点P（ $\text{[math]}$ ，-t），点Q（2t-4，-t），
∴点N（ $\text{[math]}$ ，0），点M（2t-4，0），
∴MN=-2t+4+ $\text{[math]}$ =t，解得t= $\text{[math]}$ ，
当点P在直线BC的左下方时，同理可得点N（ $\text{[math]}$ ，0），点M（2t-4，0），此时
MN=2t-4- $\text{[math]}$ =t，解得t= $\text{[math]}$ ．
综上所述，正方形PQMN的边长为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出k的值，故可得出A、B、C三点的坐标；
（2）连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G．连接GB，BC′，根据点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2），可求出C′（0，2），利用待定系数法求出直线AC′的解析式故可求出G点坐标，进而可得出结论；
（3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方．当点P在线段BC之间时（如图2），设正方形PQMN的边长为t，求出直线AC的解析式，由正方形的性质可求出P、Q、M、N点的坐标，故可得出MN的长；同理当点P在直线BC的左下方时可求出MN的长．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及正方形的性质等知识，难度较大．