题目内容
【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－4,0)、B(2,0)，在y轴上有一点 E(0，－2)，连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝
，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．
【答案】（1）
；（2）
；（3）Q点的轨迹长为
．
【解析】
（1）将A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6，即可求解；
（2）tan∠AED＝
，由勾股定理得出AN＝
，NE＝
，证明Rt△AFN∽Rt△EFO，得到
，求出OF＝2，得到直线EF的解析式，再联立方程组即可求解；
（3）Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，Q点的运动轨迹是线段，即可求解．
解：（1）将A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6（a≠0），
，解得：a＝
，b＝
，
∴；
（2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，
∵tan∠AED＝，即
，
设AN=m，则EN=3m，
∵AE=
，
∴
，即
解得：m=，
∴AN＝，NE＝3，
∵∠
∴Rt△AFN∽Rt△EFO，
∴，
∵EF2＝OF2＋4，
∴NF＝3EF=
，
∴
，
∴解得：OF＝2或OF=-14（舍去），
∴F（2，0），
设直线EF的解析式为y=kx+n，
将E（0,-2）和F（-2,0）代入得
，解得k=-1，n=-2，
∴直线EF解析式为y＝x2，
由
，得
或
，
∵点D在第二象限，
∴；
（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，
∴Q点的运动轨迹是线段，
当P点在A点时，Q（4，4），
当P点在C点时，Q（6，6），
∴Q点的轨迹长为．
