Question

如图：在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF=3FC，连接AE、AF、EF，
（1）求证△ECF∽△ABE；
（2）图中是否存在与∠EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°
∵E为BC中点，DF=3FC，
∴，，
∴
在△ECF和△ABE中，
∵且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE．

（2）图中存在与∠EAF相等的角，分别是∠BAE和∠FEC．
∵△ECF∽△ABE，∴∠FEC=∠BAE，且．
在△ABE中，∵∠B=90°，∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，∠AEF=∠B
又∵，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE同理∠FEC=∠EAF．
分析：（1）根据正方形的性质得出AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，再根据已知条件得出，能证明△ECF∽△ABE；
（2）先判断图中与∠EAF相等的角，再进行证明，根据△ECF∽△ABE，则∠FEC=∠BAE，且，再证明△AEF∽△ABE，则∠EAF=∠BAE，∠FEC=∠EAF．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是综合题难度偏大．