题目内容

如图，直线y= $数学公式$ x+4交x轴、y轴于A、C两点，过点C作CB∥0A，连接AB，连接B0交AC于点D，AB=BC．
（1）求点B的坐标；
（2）动点P从点C出发以每秒1个单位的速度，沿线段CB向终点B运动．过点P作PQ∥AB交线段AC于点Q，设△PQD的面积为S，运动的时间为t，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接P0、Q0，当t为何值时，S_△POQ=4S_△PDQ．

解：如图，过点B作BE⊥OA于E，
∵直y= $\text{[math]}$ x+4交x轴、y轴于A、C两点，
∴A（-8，0），C（0，4），
∵CB∥OA，
∴∠BEO=∠COE=∠CBE=90°，
∴四边形BEOC是矩形，
∴BE=OC=4，OA=8，OE=BC，
设BC=x，
则AE=8-x，AB=BC=x，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
即：x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即OE=BC=5，
∴点B的坐标为：（-5，4）；

（2）∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CBA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CQ= $\text{[math]}$ CA，
∵S_△CBA= $\text{[math]}$ ×CB×OC= $\text{[math]}$ ×5×4=10，
∴S_△CPQ= $\text{[math]}$ t²，
∵CB∥OA，
∴△CBD∽△AOD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CD= $\text{[math]}$ CA，
①点Q在线段CD上时，DQ=CD-CQ=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）CA，
根据等高的三角形的面积的比底边的比， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
整理得，S_△PDQ=2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）t=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t，
当点D、Q重合时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
此时，t的取值范围是0＜t＜ $\text{[math]}$ ；
②点Q在线段AD上时，DQ=CQ-CD=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）CA，
根据等高的三角形的面积的比底边的比， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
整理得，S_△PDQ=2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）t= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t，
此时，t的取值范围是 $\text{[math]}$ ＜t＜5；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t（0＜t＜ $\text{[math]}$ ），
S= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t（ $\text{[math]}$ ＜t＜5）；

（3）如图，设PQ与OA相交于点E，点Q到OA的距离为h，
∵PQ∥AB，
∴AE=BP=5-t，
∴OE=OA-AE=8-（5-t）=3+t，
∵CB∥0A，
∴△CPQ∽△AEQ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得h= $\text{[math]}$ （5-t），
S_△POQ= $\text{[math]}$ （3+t）×4- $\text{[math]}$ ×（3+t）× $\text{[math]}$ （5-t）= $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t，
①点Q在线段CD上时，∵S_△POQ=4S_△PDQ，
∴ $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t=4（- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t），
整理得，2t²= $\text{[math]}$ t，
解得t= $\text{[math]}$ ，
②点Q在线段AD上时，∵S_△POQ=4S_△PDQ，
∴ $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t=4（ $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t），
整理得， $\text{[math]}$ t²= $\text{[math]}$ t，
解得t= $\text{[math]}$ ，
综上所述，t为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，S_△POQ=4S_△PDQ．
分析：（1）过点B作BE⊥OA于E，先根据直线解析式求出点A、C的坐标，然后证明四边形BEOC是矩形，根据矩形的对边相等求出BE的长度，并设BC=x，表示出AE、AB，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算求出x的值，从而得到点B的坐标；
（2）先判定△CPQ和△CBA相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△CPQ的面积，根据相似三角形对应边成比例用CA表示出CQ，再根据△CBD和△AOD相似，利用相似三角形对应边成比例用CA表示出CD，再分①点Q在线段CD上时，表示出DQ，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列式求解即可；②点Q在线段AD上时，表示出DQ，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列式求解即可；
（3）设PQ与OA相交于点E，表示出CP、AE，然后根据相似三角形对应高的比等于对应边的比表示出点Q到OA的距离，再表示出OE，根据三角形的面积公式列式求出△POQ的面积，然后分①点Q在线段CD上时，代入数据解关于t的方程即可；②点Q在线段AD上时，代入数据解关于t的方程即可．
点评：本题是对一次函数的综合考查，主要利用了勾股定理，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于对应边的比，等高的三角形的面积的比等于对应边的比，综合性较强，难度较大，并且运算量比较大，同学们在计算时要注意认真仔细，并且要分点Q在CD与AD上两种情况讨论．