Question

彼此相似的正方形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃C₃D₃，点A₁，A₂，A₃和点C₁，C₂，C₃分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，点B₃的坐标是（

19

4

，

9

4

），求5k-bk的值．

Answer 1

考点：相似多边形的性质,一次函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：根据直线解析式求出点OA₁，得到第一个正方形的边长，根据点B₃的坐标求出第三个正方形的边长以及A₃的坐标，然后求出第二个正方形的边长，再表示出A₂B₁、A₃B₂，然后求出△A₁A₂B₁和△A₂A₃B₂相似，根据相似三角形对应边成比例列式求b，再把点A₃的坐标代入直线求出k，然后代入代数式进行计算即可得解．

解答：解：令x=0，则y=b，
所以，OA₁=b，
∵点B₃的坐标是（

19

4

，

9

4

），
∴第三个正方形的边长A₃C₂=

9

4

，A₃（

5

2

，

9

4

），
∴第二个正方形的边长为

5

2

-b，
∴A₂B₁=

5

2

-2b，A₃B₂=

9

4

-（

5

2

-b）=b-

1

4

，
∵正方形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃C₃D₃是彼此相似的多边形，
∴点B₃的坐标是（

19

4

，

9

4

），
∴△A₁A₂B₁∽△A₂A₃B₂，
∴

A1B1

A2B2

=

A2B1

A3B2

，
∴

b

5 2 -b

=

5 2 -2b

b- 1 4

，
整理得，4b²-29b+25=0，
解得b₁=1，b₂=

25

4

（舍去），
所以，直线解析式为y=kx+1，
把A₃（

5

2

，

9

4

）代入得，

5

2

k+1=

9

4

，
解得k=

1

2

，
所以5k-bk=5×

1

2

-1×

1

2

=2．

点评：本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，用b表示出正方形的边长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出b是解题的关键，也是本题的难点．