Question

在△ABC中，∠BAC=α．
（1）如图1，∠ABC与∠ACB的角平分线交于O，求∠BOC；
（2）如图2，∠MBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于Q，求∠BQC．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解．

解答：解：（1）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-α）=90°-

1

2

α，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°

1

2

α）=90°+

1

2

α；

（2）∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠ABC+∠A
∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A
∵BE，CQ分别为△ABC的外角∠MBC，∠NCB的角平分线
∴∠CBQ+∠BCQ=

1

2

（180°+∠A）
∴∠BQC=180°-（∠CBQ+∠BCQ）=90°-

1

2

∠A=90°-

1

2

α．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．