Question

1．如图，正六边形ABCDEF的边长为2$\sqrt{3}$，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？

Answer 1

分析 过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可求出BD的长，而点P到AF与CD的距离之和，P到EF、BC的距离之和均为BD的长，据此得出结论．

解答 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BD∥HK，且BD=HK，
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．

点评 本题主要考查的是正多边形及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合思想求解是解答此题的关键．