Question

15．已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．
（1）四边形AEPM是菱形吗？说明理由；
（2）若AD=15，AP为多少时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer 1

分析 （1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形AEPM为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC，再由PE∥AM可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；
（2）S_菱形AEPM=EP•h，S_{平行四边形EFBM}=EF•h，若菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则EP=$\frac{1}{2}$EF，所以P为EF中点时，S_菱形AEPM=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBM}．得出AO=PO=PD，即可得出结果．

解答 （1）解：四边形AEPM是菱形，理由如下：
∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四边形AEPM为菱形．
（2）解：AP=10时，S_菱形AEPM=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBM}
∵四边形AEPM为菱形，
∴AD⊥EM，AO=PO，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：
则S_菱形AEPM=EP•EN=$\frac{1}{2}$EF•EN=$\frac{1}{2}$S_{四边形EFBM}．
则EP=$\frac{1}{2}$EF=FP，
∵EM∥BC，
∴PO=PD，
∴AO=PO=PD，
∴AP=$\frac{2}{3}$AP=10．

点评 此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形AEPM为菱形是解决问题的关键．