Question

                                                    

已知， 点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+

∠MON=180°.

（1）利用图1，求证：PA=PB；

（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；

（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，

请借助图3补全图形，并求的长.

 

Answer 1

解：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，

∵OP平分∠MON，

∴∠MOP=∠NOP．

又∵OA=OD，OP=OP，

∴△AOP≌△DOP．　　　

∴PA=PD，∠1=∠2．

∵∠APB+∠MON=180°，

∴∠1+∠3=180°．

∵∠2+∠4=180°，

∴∠3=∠4．

∴PD=PB．

∴PA=PB．　　

（2）∵PA=PB，

∴∠3=∠4．

∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，

∴∠1+∠2=∠3+∠4．

∴∠2=∠4．

∵∠5=∠5，

∴△PBC∽△POB．  　

∴． 　

（3）作BE⊥OP交OP于E，

∵∠AOB=60⁰，且OP平分∠MON，

     ∴∠1=∠2=30°．

∵∠AOB+∠APB=180°，

∴∠APB=120°．

∵PA=PB，

∴∠5=∠6=30°．

∵∠3+∠4=∠7，

∴∠3+∠4=∠7=(180°30°)÷2=75°．

∵在Rt△OBE中，∠3=60⁰，OB=2

∴∠4=15⁰，OE=，BE=1

∴∠4+∠5=45⁰，

∴在Rt△BPE中，EP=BE=1

∴OP=