Question

如图，平面直角坐标系中，A（0，x）、B（y，0）、C（z，0），在B、C两点各有一个平面镜，其中在B点的平面镜沿x轴方向，从P点发射两条光线PA、
PB，反射光线BD经A点和反射光线CD相交．
（1）若x、y、z满足（2x+y-1）²+|y+z-1|=-（z-2）²，求△ABC的面积；
（2）若两条入射光线PA、PB的夹角（∠BPC）为28°，要想让两条反射光线
BD、CD的夹角（∠BDC）为36°，问平面镜MN与x轴夹角的度数．

Answer 1

（1）因为等式（2x+y-1）²+|y+z-1|=-（z-2）²成立，所以有下列三元一次方程组：

2x+y-1=0 y+z-1=0 z-2=0

，
解得：

x=1 y=-1 z=2

，
即：A、B、C三点的坐标为A（0，1）；B（-1，0）；C（2，0）．
所以S_△ABC=

1

2

BC×AO=

1

2

（|-1|+2）×1=1.5；

（2）在△ABC中，因为AO⊥BC，AO=BO，
所以∠BAO=∠OBA=45°，∠AOC=90°，
据光的反射定律可知：∠PBA=180°-2×45°=90°，
所以∠PAB=90°-28°=62°，
所以∠OAC=180°-45°-62°=73°，
∠ACD=180°-36°-62°=82°，
据光的反射定律和∠ABD=82°可知：∠ACM=（1/2）（180°-82°）=49°，
据三角形内角和定理和∠OAC=73°可知：∠ACO=180°-90°-73°=17°，
所以∠BCM=∠ACM-∠ACO=49°-17°=32°，
即：平面镜MN与X轴夹角的度数为32°．