Question

已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．
（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；
（3）如图（3），设PT²=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长；
（2）连接OT，则OP平分劣弧AT，则∠AOP=∠B，从而证出结论；
（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，由相交弦定理，可得出CD的长，再由切割线定理可得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值．
解答：（1）解：连接OT
∵PC=5，OT=4，
∴由勾股定理得，PT===3；

（2）证明：连接OT，∵PT，PC为⊙O的切线，
∴OP平分劣弧AT，
∴∠POA=∠POT，
∵∠AOT=2∠B，
∴∠AOP=∠B，
∴PO∥BT；

（3）解：设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，
由相交弦定理，得CD²=AC•BC，
∵AC=x，∴BC=8-x，
∴CD=，
∴由切割线定理，得PT²=PD•PE，
∵PT²=y，PC=5，
∴y=[5-][5+]，
∴y=25-x（8-x）=x²-8x+25，
∴y_最小==9．
点评：本题是一道综合题，考查了切线的性质、二次函数的最值以及勾股定理的内容，是中考压轴题，难度较大．