Question

【题目】问题提出：

（1）如图①，在边长为8的等边三角形ABC中，点D，E分别在BC与AC上，且BD＝2，∠ADE＝60°，则线段CE的长为　 　．

问题

（2）如图②，已知AP∥BQ，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，D是射线AP上的一个动点（不与点A重合），E是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），EC⊥DE，交射线BQ于点C，且AD+DE＝AB，求△BCE的周长．

问题解决：

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB+CD＝10（AB＜CD），BC＝6，点E为BC的中点，且∠AED＝108°，则边AD的长是否存在最大值？若存在，请求AD的最大值，并求出此时AB，CD的长度，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）12；（3）存在，AD的最大值为．

【解析】

问题提出（1）证明△ABD∽△DCE，得出＝，即可得出答案；
问题分析（2）设AD=x，AE=y，则DE=6-x，BE=6-y，证明△ADE∽△BEC，得出＝＝，即＝＝，求出BC，CE，得出△BCE的周长=，在Rt△ADE中，结合勾股定理可得出△BCE的周长；
问题解决（3）作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN、DN、EN．证明△MNE是等腰三角形，EM=EN=3，得出∠EMN=∠ENM=（180°-36°）=72°，作∠EMN的平分线交EN于P，证出PE=PM=MN，证明△MPN∽△EMN，得出＝，则MN2=EN×PN，设PE=PM=MN=x，则PN=3-x，得出x2=3（3-x），得出MN，由AD≤AM+MN+DN，即可得出答案．

问题提出：

（1）解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝8，∠B＝∠C＝60°，

∵BD＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝6，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴＝，即＝，

解得：CE＝；

故答案为：；

问题

（2）解：∵AD+DE＝AB，AB＝6，

∴AD+DE＝6，

设AD＝x，AE＝y，则DE＝6﹣x，BE＝6﹣y，

∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，

∵∠A＝∠B＝90°，∴∠AED+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，∴＝＝，

即＝＝，

解得：BC＝，CE＝，

∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝6﹣y+＝，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：x2+y2＝（6﹣x）2，

整理得：36﹣y2＝12x，

∴△BCE的周长＝＝12；

问题解决：

（3）解：作出点B关于AE的对称点M，点C关于DE的对称点N，连接AM、EM，MN，DN，EN．如图所示：

根据轴对称的性质可得AM＝AB，BE＝EM，CE＝EN，DN＝CD，∠AEB＝AEM，∠DEC＝∠DMN，

∵∠AED＝108°，

∴∠AEB+∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣108°＝72°，

∴∠MEN＝∠AED﹣（∠AEM+∠DEN）＝108°﹣72°＝36°，

∵点M是四边形ABCD的边BC的中点，

∴BE＝CE＝3，

∴EM＝EN＝3，

∴∠EMN＝∠ENM＝（180°﹣36°）＝72°，

作∠EMN的平分线交EN于P，则∠EMP＝∠NMP＝36°＝∠MEN，∠MPN＝36°+36°＝72°＝∠ENM，

∴PE＝PM＝MN，△MPN∽△EMN，

∴＝，

∴MN2＝EN×PN，

设PE＝PM＝MN＝x，则PN＝3﹣x，

∴x2＝3（3﹣x），

解得：x＝，或x＝（舍去），

∴MN＝，

∵AD≤AM+MN+DN＝AB+CD+MN＝10+＝，

∴AD≤，

∴AD的最大值为．