Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB=9，CD=4，求四边形ABCD的面积

 

．

Answer 1

分析：设AB与⊙O相交于点F，连接DF，则DF⊥AB，即DF为梯形ABCD的高；连接OE，则OE⊥BC，且为梯形的中位线，可求出其长度，得半径的长，即可得AD的长；在△ADF中，AF=AB-CD，根据勾股定理可求DF，再应用梯形面积公式计算求解．

解答：解：设AB与⊙O相交于点F，连接DF、OE．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴ABCD为直角梯形；
∵AD是直径，
∴∠DFA=90°，
∴BCDF为矩形，CD=BF，
∴AF=AB-BF=9-4=5；
∵BC与圆相切于E，
∴OE⊥BC．
∴AB∥CD∥OE；
又OA=OD，
∴CE=EB，
∴OE=

1

2

（CD+AB）=

1

2

（4+9）=

13

2

，
即⊙O的半径为

13

2

，
∴直径AD=13；
在Rt△ADF中，
DF=

132-52

=12．
∴四边形ABCD的面积=OE•DF=

13

2

×12=78．

点评：此题考查了切线的性质、梯形的中位线定理及面积计算等知识点，综合性较强，难度偏上．作出适当的辅助线是解题的关键．