Question

【题目】如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交圆于点，过作交的延长线于点，点是中点，，分别交，于点，点,．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：是等腰三角形；

（3）若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）的半径长为8

【解析】

（1）连接OD，见详解图，通过的平分线交圆于点和OD=OA及，易证∠ODE为90°；

（2）根据FG⊥AO，AD平分∠BAC及∠ADE=90°，易证∠AHF=∠HDG，进而可得∠DHG=∠HDG,即可得出结论；

（3）由可设，，则，因为F为OA中点，所以AF=，过G做GM⊥AD，易证，可得，，进而，即得答案．

（1）证明：如图①中，，∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴，∵，

∴，

∴，

∴是的切线；

（2）∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）∵

设，，则

∵点是中点，

∴

∵，

∴

∴

∴，

由（2）可知，

过点作，交于点，

∴，

∴

∵，，

∴，

∴在中，

∴

∴

∴的半径长为8