Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上。

（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵A（0，1），B（0，3） ∴AB=2， ∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上， ∴AC=AB=2， ∴OC=， ∴， 设直线BC的解析式为y=kx+3， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为； （2）∵抛物线关于y轴对称， ∴b=0， 又抛物线经过A（0，1），D（3，-2）两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是， 在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°， 在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得， ∴CA是∠BCO的角平分线， ∴直线BC与x轴关于直线AC对称， 点P关于直线AC的对称点在x轴上， 则符合条件的点P就是直线BC与抛物线的交点， 点P在直线BC：上， 故设点P的坐标为， 又点在抛物线上， ∴， 解得， 故所求的点P的坐标是； （3）要求PM+CM的取值范围，可先求PM+CM的最小值； I）当点P的坐标是时，点P与点C重合，故PM+CM=2CM 显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为， ∵点M是y轴上的动点， ∴PM+CM无最大值， ∴PM+CM≥2， II）当点P的坐标是时，由点C关于y轴的对称点， 故只要求的最小值，显然线段最短，易求得， ∴的最小值是6， 同理没有最大值， ∴的取值范围是， 综上所述，当点P的坐标是时，， 当点P的坐标是时，。