Question

已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当BQ=AP时，求t的值；

（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，

∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，

∴，

解得 ，

∴y=﹣x²﹣x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t=（2+t），

∴t=．

②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2=（2+t），

∴t=6．

综上所述，t=或6时，BQ=AP．

（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ为等腰直角三角形，

∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，

∵直线y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，设M（x，y），

∴，

解得  或 ，

∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，

则有PD=|1﹣t|，MP²=1+|1﹣t|²=t²﹣2t+2，PQ²=2t²，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP=PQ，

∴t²+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．

②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，

则有PE=3+t，ME=3，

∴MP²=3²+（3+t）²=t²+6t+18，PQ²=2t²，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP=PQ，

∴t²﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．

综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．