Question

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D．求证：AD平分∠CAB．

Answer 1

分析 利用切线BC的性质求得∠ODB=90°，再根据已知条件∠ACB=90°，来证明OD∥AC；然后由两直线平行内错角相等知∠1=∠3；最后由等腰三角形AOD的两个底角∠1=∠2及等量代换证明AD平分∠BAC．

解答 证明：如图，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠ACB．
∴OD∥AC，
∴∠1=∠3．
∵OD=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
即AD平分∠BAC．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理及扇形的面积公式．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．