Question

7．如图所示，EFGHIJKLMNPQ是正方形ABCD内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为6，那么正十二边形的面积是54．

Answer 1

分析 如图，连接AC、BD交于点O，把△OAE放大，作FY⊥AE于Y，OX⊥AE于X．由题意，∠A=45°，∠AEF=30°，AE=3，设FY=a，则EY=$\sqrt{3}$a，AY=FY=a，列出方程求出a，再根据△AEF∽△AOE，得$\frac{AE}{AO}$=$\frac{AF}{AE}$，求出OA、OX，根据s_△OEF=S_△AEO-S_△AEF，求出△OEF的面积即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC、BD交于点O，把△OAE放大，作FY⊥AE于Y，OX⊥AE于X．
由题意，∠A=45°，∠AEF=30°，AE=3，设FY=a，则EY=$\sqrt{3}$a，AY=FY=a，
∴$\sqrt{3}$a+a=3，
∴a=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}$-1），AF=$\sqrt{2}$a=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
∵∠A=∠A，∠AEF=∠AOE=30°，
∴△AEF∽△AOE，
∴$\frac{AE}{AO}$=$\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{3}{AO}$=$\frac{\frac{3}{2}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{3}$，
∴OA=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$），
∴OX=AX=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∴s_△OEF=S_△AEO-S_△AEF=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}+1）$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$（$\sqrt{3}$-1）=$\frac{9}{2}$，
∴正十二边形的面积=12×$\frac{9}{2}$=54．
故答案为54．

点评 本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、30度的直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求三角形面积，属于中考填空题中的压轴题．