Question

4．如图，在⊙O中，点C为AB的中点，∠ACB=120°，AD是⊙O的切线，OC延长线与AD交于点D．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理、等边三角形的性质和切线的性质可以得到∠B与∠D的关系，从而可以解答本题；
（2）根据锐角三角三角函数可以解答本题．

解答 （1）证明，连接OA，如右图所示，
∵在⊙O中，点C为AB的中点，∠ACB=120°，AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，OC⊥AB，
∴∠B=30°，
∵OA=OC，∠OCA=60°，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠D=30°，
∴∠B=∠D；
（2）∵点C到弦AB的距离为2，∠CAB=30°，∠ACO=60°，
∴AB=2×（2×tan60°）=2×（2×$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查垂径定理、切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．