Question

如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A₁落在射线OB上，点A绕点A₁顺时针旋转后的对应点A₂落在射线OB上，点A绕点A₂顺时针旋转后的对应点A₃落在射线OB上，…，连接AA₁，AA₂，AA₃…，依此作法，则∠AA_nA_n+1等于

 

度．（用含n的代数式表示，n为正整数）

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰三角形的性质

专题：规律型

分析：根据旋转的性质得OA=OA₁，则根据等腰三角形的性质得∠AA₁O=

90°

2

，同理得到A₁A=A₁A₂，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AA₂A₁=

1

2

∠AA₁O=

90°

22

，同样得到∠AA₃A₂=

90°

23

，于是可推广得到∠AA_nA_n-1=

90°

2n

，然后利用邻补角的定义得到∠AA_nA_n+1=180°-

90°

2n

．

解答：解：∵点A绕点O顺时针旋转后的对应点A₁落在射线OB上，
∴OA=OA₁，
∴∠AA₁O=

90°

2

，
∵点A绕点A₁顺时针旋转后的对应点A₂落在射线OB上，
∴A₁A=A₁A₂，
∴∠AA₂A₁=

1

2

∠AA₁O=

90°

22

，
∵点A绕点A₂顺时针旋转后的对应点A₃落在射线OB上，
∴A₂A=A₂A₃，
∴∠AA₃A₂=

1

2

∠AA₂A₁=

90°

23

，
∴∠AA_nA_n-1=

90°

2n

，
∴∠AA_nA_n+1=180°-

90°

2n

．
故答案为：180-

90

2n

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质．