Question

如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G．
（1）求证：AG=GC；
（2）若AG=

3

，AH：AB=1：3，求△CDG的面积与△BOF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接AD，BC，BD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB，
∴∠DAG=2∠CAB，
∵∠BOF=2∠CAB，
∴∠BOF=∠DAG，
又∵∠OBF=∠ADG，
∴△BOF∽△DAG，
∴

OB

OF

=

DA

AG

，
∵OB=OC=2OF，
∴

DA

AG

=2，
又∵AC=DA，
∴AC=2AG，
∴AG=GC；

（2）连接BC，则∠BCA=90°，
又∵CH⊥AB，
∴AC²=AH•AB，
∵AC=2AG=2

3

，AH：AB=1：3，
∴（2

3

）²=

1

3

AB•AB，
∴AB=6，∴AH=2，
∴CH=2

2

，
∴S_△ACD=

1

2

CD•AH=

1

2

×2×4

2

=4

2

，
又∵AG=CG，
∴S_△CDG=S_△DAG=

1

2

S_△ACD=2

2

，
∵△BOF∽△DAG，
∴

S△BOF

S△DAG

=（

OB

AD

）²=（

3

2 3

）²=

3

4

，
∴S_△BOF=

3 2

2

．