题目内容

14．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC．
（1）该抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m，当0＜m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大．
（3）如图3，Rt△A1B1C1中，∠A1C1B1=90°，A1C1=1，B1C1=2，直角边A1C1在x轴上，且A1与A重合，当Rt△A1B1C1沿x轴从右向左以每秒1个单位长度的速度移动时，设△A1B1C1与△ABC重叠部分的面积为S，求当S=$\frac{4}{5}$时，△A1B1C1移动的时间t．

分析 （1）把D（2，4），A（3，0）代入y=ax2+bx+4解方程组即可．
（2）由GM∥BC，OC∥EM，推出$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，得AG=$\frac{4}{3}$（3-m），GB=$\frac{4}{3}$m，由S△MGC=S△BMG构建二次函数即可解决问题．
（3）分两种情形①如图3中，重叠部分是四边形EFB1C1，列出方程即可解决问题．②如图4中，当重叠部分是四边形EBB1C1时，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）把D（2，4），A（3，0）代入y=ax2+bx+4得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=4}\\{9a+3b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+4．

（2）如图2中，连接BM．

∵直线AC解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴点M坐标（m，-$\frac{4}{3}$m+4），E（m，0），
∵GM∥BC，OC∥EM，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，
∴AG=$\frac{4}{3}$（3-m），
∴GB=$\frac{4}{3}$m，
∵S△MGC=S△BMG=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$m•（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{8}{9}$（m-$\frac{3}{2}$）2+2．
∵a=-$\frac{8}{9}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△GMC的面积取得最大值，这个最大值为2．

（3）如图3中，重叠部分是四边形EFB1C1，

∵直线A1C1的解析式为y=2（x+t）-6，直线CA解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x+t）-6}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$得到点E（-$\frac{3}{5}t$+3，$\frac{4}{5}$t），
∵F[4-t，-$\frac{4}{3}$（4-t）+4]，
由题意$\frac{1}{2}$•[4-t-（-$\frac{3}{5}$t+3）]•[2-$\frac{4}{3}$（t-1）]=$\frac{1}{5}$，
整理得到2t2-10t+11=0，
∴t=5-$\sqrt{3}$或5+$\sqrt{3}$（舍弃）．
如图4中，当重叠部分是四边形EBB1C1时，

∵直线BC解析式为y=4x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x+4}\\{y=2（x+t）-6}\end{array}\right.$可得E（t-5，4t-16），
由题意$\frac{1}{2}$•（t-4）•（4t-16）=$\frac{1}{5}$，
解得t=4+$\frac{\sqrt{10}}{10}$或4-$\frac{\sqrt{10}}{10}$（舍弃），
综上所述t=5-$\sqrt{3}$或4+$\frac{\sqrt{10}}{10}$秒时，△A1B1C1与△ABC重叠部分的面积为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、平移变换等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，学会分类讨论，学会利用方程组求两个函数交点坐标，属于中考压轴题．

练习册系列答案
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