Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ）、C（ ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），，抛物线解析式为；

（2）①当时，△OCE∽△OBC；②抛物线对称轴上存在点P或或或，使△PEM是等腰三角形．

【解析】

（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；

②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF//AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．

（1）∵点

∴

由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角

∴，

∴点，点

设抛物线解析式为

解得

∴抛物线解析式为

（2）①∵△OCE∽△OBC

∴

即

解得

∴

即时，△OCE∽△OBC

②存在，理由如下：

抛物线的对称轴为

∴点E为抛物线的对称轴与x轴的交点

∵，轴，

∴△ACE是等边三角形

∴

∵

∴

∴

∴

由可得直线AC的解析式为

∵点E

∴直线EF的解析式为

联立

解得 ，

∴点M的坐标为或（舍去）

分三种情况讨论△PEM是等腰三角形

1）当时，

∴点P的坐标为或

2）当时，

∵

∴

∴点P的坐标为

3）当时，

∴点P的坐标为

综上所述，抛物线对称轴上存在点P或或或，使△PEM是等腰三角形．