Question

【题目】如图，矩形的对角线相交于点，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，菱形的面积为，求的长．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论；
（2）因为∠BAC=60°，可得∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后过点D作DF⊥AC于F，根据菱形的面积求出OC，再利用勾股定理求出BC．

解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）∵∠BAC=60°，

∴∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°-30°=60°，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
又∵菱形OCED的面积═△OCD的面积的2倍=18，

过点D作DF⊥AC于F，

可得2CF=OC=CD，

∴DF=CD=OC，
∴即18=OC×DF=OC×OC=OC2，
∴OC2=36，
∴OC=6=CD，
∴BD=2CD=2OC=12，

∴BC==.