Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（3，2），B（0，1）和点C（-1，-

2

3

）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若S_△PFN=4S_△PFM，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴，根据A关于对称轴的对称，可得M点的坐标，根据S_△PFN=4S_△PFM，等底，可得NH的长度，根据待定系数法，可得直线MN的解析式，根据直线的交点，可得答案；
（3）分类讨论：当△AMB∽△MBG时，当△BMA∽△MBG时，根据相似三角形对应边的比相等，可得BG的长，根据线段的和差，可得答案．

解答：解：（1）由题得c=1，
∵抛物线过点A（3，2）和点C(-1，-

2

3

)
∴

9a+3b+1=2 a-b+1=- 2 3

∴

a=- 1 3 b= 4 3

∴y=-

1

3

x2+

4

3

x+1

（2）∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+1=-

1

3

(x-2)2+

7

3

∴P(2，

7

3

)∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵A与M关于对称轴对称
∴M（1，2），ME=1
过点N作NH⊥PF于点H
∵S_△PFN=4S_△PFM
∴ME=

1

4

NH
∴NH=4
∴N（6，-3）．
可求直线MN：y=-x+3
∴F（2，1）

（3）∵B（0，1），M（1，2），延长AM交y轴于点D，则D（0，2），
∴∠DBM=∠DMB=45°，BM=

BD2+DM2

=

12+12

=

2

∴∠AMB=135°，
∵△BMA与△MBG相似
∴点B与点M对应，点G只能在点B下方．
设G（0，y）
①当△AMB∽△MBG时，
∴

AM

MB

=

MB

BG

2

2

=

2

BG

∴BG=1
∴G（0，0）
②当△BMA∽△MBG时，
∴

BM

MB

=

MA

BG

2

2

=

2

BG

∴BG=2
∴G（0，-1）
综上所述，满足要求的点G的坐标为（0，0）或（0，-1）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，（1）待定系数法是求二次函数解析式的关键；（2）等底面积的关系，得出高的关系，先求出点N的坐标，再求出直线MN，最后求出两直线的交点；（3）分类讨论，对应边的比相等是解题关键．