Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0）、B（2，3），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积；
（3）求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）分别把A（3，0）、B（2，3）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c，利用待定系数法可得a=-1，b=2，c=3．故这个二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3．
（2）连接AB、AC、BC，利用BC∥OA的性质可知S_△ABC=S_△OBC=3．
（3）根据Rt△AOC中边长的数量关系可知，∠CAO=∠ACO=45°，则AC=3

2

．过点BC作BD⊥AC，垂足为D点，S_△ABC=3．可求得BD=

2

．∠BCD=45°，依次求出BD=CD=

2

，AD=2

2

，则tan∠BAC=

1

2

．

解答：解：（1）分别把A（3，0）、B（2，3）、C（0，3）
代入y=ax²+bx+c，
得

9a+3b+c=0 4a+2b+c=3 c=3

（1分）
解得a=-1，b=2，c=3．（3分）
故这个二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3．（1分）

（2）连接AB、AC、BC，如图所示．（1分）
∵BC∥OA，
∴S_△ABC=S_△OBC=

1

2

×2×3=3．

（3）在Rt△AOC中，∵AO=3，OC=3，
∴∠CAO=∠ACO=45度．
∴AC=

OA

sin∠COA

=3

2

．
（或使用其他锐角三角比或使用勾股定理）（1分）
过点BC作BD⊥AC，垂足为D点，如图．
∵S△ABC=

1

2

×AC×BD，S_△ABC=3，
∴

1

2

×3

2

×BD=3，BD=

2

．（1分）
∵BC⊥OC，∠ACO=45°，
∴∠BCD=90°-45°=45°，
∴CD=BD=

2

，AD=AC-CD=2

2

．（1分）
∴tan∠BAC=

BD

AD

=

2

2 2

=

1

2

．（1分）

点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和梯形的性质，三角函数的运用等．要熟练掌握才能灵活运用．