Question

如图，在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，DE是中位线，则圆心在直线AC上，且与DE、AB都相切的⊙O的半径长是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,三角形中位线定理

专题：

分析：首先根据勾股定理求得BC的长，以及OA的长，然后分O在线段AE上和在线段EC上，两种情况进行讨论，过O作AB的垂线OF，则OF=OE，都等于圆的半径，根据△ABC∽△AOF即可求解．

解答：解：在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
∵DE是中位线，
∴DE=

1

2

BC=3，AE=EC=

1

2

AC=4，
设⊙O的半径长是x，则当圆心O在线段AE上是时，作OF⊥AB于点F，则OF=x，OA=4-x，
△ABC∽△AOF，
∴

AB

OA

=

OF

BC

，即

10

4-x

=

x

6

，
解得：x=

3

2

；
当O在线段EC上时，设圆的半径是y，则OA=4+y，同理求得y=6．
故半径长是

3

2

或6．

点评：本题考查了切线的性质，圆心到切线的距离等于圆的半径，以及相似三角形的判定与性质，注意到两种情况，进行讨论是关键．