Question

【题目】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．

当绕点旋转到时（如图1），易证．

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析（2）

【解析】

（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．

（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似．

（1）BM+DN=MN成立．

证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线．

∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴在△AEM与△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．

在线段DN上截取DQ=BM，如图，

在△ADQ与△ABM中，

∵，

∴△ADQ≌△ABM（SAS），

∴∠DAQ=∠BAM，

∴∠QAN=∠MAN．

在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），

∴MN=QN，

∴DN-BM=MN．