Question

8．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．
（1）求证：AC•DF=$\sqrt{2}$BF•BD；
（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；
（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ABF+∠BAF=90°、∠ABF+∠DBF=90°知∠BAF=∠DBF，结合∠AFB=∠BFD=90°证△ABF∽△BDF得$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BF}{DF}$，由AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC可得答案；
（2）由∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°知∠FBC=∠EDF，结合$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BF}{DF}$=$\frac{BC}{DE}$证△FBC∽△FDE得∠BFC=∠DFE，继而可得答案；
（3）证△ABD≌△CDE得∠ADB=∠CED，即可得CE⊥AD，由BF⊥AD可得答案．

解答 解：（1）∵BF⊥AD，
∴∠AFB=∠BFD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABF+∠DBF=90°，
∴∠BAF=∠DBF，
∴△ABF∽△BDF，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BF}{DF}$，即AB•DF=BF•BD，
由AB=BC，AB⊥BC，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴AC•DF=$\sqrt{2}$BF•BD；

（2）∵$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BF}{DF}$，AB=BC、BD=DE，
∴$\frac{BF}{DF}$=$\frac{BC}{DE}$，
∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°，
∴∠FBC=∠EDF，
∴△FBC∽△FDE，
∴∠BFC=∠DFE，
又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°，
∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°，
故∠CFE的度数保持不变，始终等于90°．

（3）当C为BD中点时，CE∥BF，
理由如下：
∵C为BD中点，
∴AB=BC=CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$DE，
在△ABD和△CDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABD=∠CDE=90°}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴∠ADB=∠CED，
∵∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ADB+∠ECD=90°，
∴CE⊥AD，
∵BF⊥AD，
∴CE∥BF．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．