如图.矩形ABCD中.AB=3.AD=4.点P时边AD上一点.将△ABP沿直线BP折叠.得到△A′BP.连接CA′并延长交AD于点E.延长PA′交BC的延长线于点F.给出以下判断:①当AP=$\sqrt{3}$时.A′B平分∠PBC,②A′B平分∠ABC时.PF=3$\sqrt{2}$,③当AP=1时.$\frac{{S} {△A′BC}}{{S} {△A′CF}}$=5,④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P时边AD上一点，将△ABP沿直线BP折叠，得到△A′BP，连接CA′并延长交AD于点E，延长PA′交BC的延长线于点F，给出以下判断：
①当AP=$\sqrt{3}$时，A′B平分∠PBC；
②A′B平分∠ABC时，PF=3$\sqrt{2}$；
③当AP=1时，$\frac{{S}_{△A′BC}}{{S}_{△A′CF}}$=5；
④当点P、A′、C在同一条直线上时，AE=4-$\sqrt{7}$．
其中一定正确的是①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）

分析根据矩形的性质可得AD∥BC，据此可得∠APB=∠CBP，根据折叠的性质可得∠APB=∠BPF，可得到△BPF是等腰三角形；根据∠A'BP=∠A'BC，可得A′B平分∠PBC；根据△A'BF是等腰直角三角形，可得BF=$\sqrt{2}$A'B=3$\sqrt{2}$，进而得到PF=3$\sqrt{2}$；根据勾股定理可得，Rt△PGF中，3²+（3+x）²=（4+x）²，解得x=1，再根据BC：FC=4：1，可得$\frac{{S}_{△A′BC}}{{S}_{△A′CF}}$=4；当点P、A′、C在同一条直线上时，点P与点E重合，根据勾股定理可得，Rt△CDE中，3²+（4-x）²=（x+$\sqrt{7}$）²，解得x=4-$\sqrt{7}$，即可得出AE=4-$\sqrt{7}$．

解答解：①当AP=$\sqrt{3}$时，tan∠ABP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABP=30°=∠A'BP，
∴∠ABA'=60°，∠A'BC=30°，
∴∠A'BP=∠A'BC，
∴A′B平分∠PBC，故①正确；

②当A′B平分∠ABC时，∠ABA'=45°=∠A'BC，
由折叠可得∠A'BP=$\frac{1}{2}$∠ABA'=22.5°，
∴∠PBC=67.5°=∠APB=∠A'PB，
∴PF=BF，
∴等腰△BPF中，∠F=180°-2×67.5°=45°，
∴△A'BF是等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$A'B=3$\sqrt{2}$，
∴PF=3$\sqrt{2}$，故②正确；

③如图所示，过P作PG⊥BC于G，
当AP=1时，BG=1，GC=3，
设CF=x，则BF=4+x，GF=3+x，
由②可得PF=BF=4+x，
而PG=AB=3，
∴Rt△PGF中，3²+（3+x）²=（4+x）²，
解得x=1，
∴BC：FC=4：1，
∴$\frac{{S}_{△A′BC}}{{S}_{△A′CF}}$=4，故③错误；

④如图所示，当点P、A′、C在同一条直线上时，点P与点E重合，
设AE=A'E=x，则DE=4-x，
由折叠可得AB=A'B=3，∠BA'C=90°，而BC=4，
∴Rt△BCA'中，A'C=$\sqrt{B{C}^{2}-A'{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴EC=x+$\sqrt{7}$，
∴Rt△CDE中，3²+（4-x）²=（x+$\sqrt{7}$）²，
解得x=4-$\sqrt{7}$，
∴AE=4-$\sqrt{7}$，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．