Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

如图，是相似．                       
【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．

在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵　E是AD的中点，
∴　AE＝ED．
∵　∠AEF＝∠DEG，
∴　△AFE≌△DGE．                         
∴　∠AFE＝∠DGE．
∴　E为FG的中点．
又　CE⊥FG，
∴　FC＝GC．
∴　∠CFE＝∠G．
∴　∠AFE＝∠EFC．
又　△AEF与△EFC均为直角三角形，
∴　△AEF∽△EFC．                         
① 存在．                                    
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．
证明：当＝时，＝，
∴　∠ECG＝30°．
∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．
又　△AEF和△BCF均为直角三角形，
∴　△AEF∽△BCF．           
② 因为EF不平行于BC，
∴　∠BCF≠∠AFE．
∴　不存在第二种相似情况．          

解析