题目内容
13、已知整数x，y，使得7|（13x+8y），求证：7|（9x+5y）．
分析：根据13与8互质，而7|（13x+8y），可以得到x与y一定有公因数7，即可求证．
解答：证明：∵7|（13x+8y）
∴13x+8y有因数等于7．
又∵13与8互质
∴x与y一定有公因数7或等于7．
∴9x与5y一定也有公因数7．
即9x+5y有因数7．
∴7|（9x+5y）．
“因为7|（13x+8y）
所以7|（26x+16y）（1）
因为7|（35x+21y）（2）
（2）-（1）所以，7|（9x+5y）．
∴13x+8y有因数等于7．
又∵13与8互质
∴x与y一定有公因数7或等于7．
∴9x与5y一定也有公因数7．
即9x+5y有因数7．
∴7|（9x+5y）．
“因为7|（13x+8y）
所以7|（26x+16y）（1）
因为7|（35x+21y）（2）
（2）-（1）所以，7|（9x+5y）．
点评：本题考查了数的整除性，理解x与y一定有公因数7是证明本题的关键．
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