题目内容

如图，直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB= $数学公式$ ，已知抛物线经过O、A、B三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行与y轴的直线l从点O向终点A匀速运动，速度是每秒1个单位长，运动时间为t秒．直线l交折线段OBA于点D，交抛物线于点E．问：当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？
（3）探索：坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）过点B作BK⊥OA，
∵直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB= $\text{[math]}$ ，
∴OK=BC=3，
∴AK=OA-OK=6-3=3，
在Rt∧ABK中：BK= $\text{[math]}$ =6，
∴点B的坐标为（3，6），
∵抛物线过点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为： $\text{[math]}$ ；

（2）设直线OB的解析式为：y=mx，
∴3m=6，
∴m=2，
∴直线OB的解析式为：y=2x；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+12，
当点D在OB上时，
DE=- $\text{[math]}$ x²+4x-2x=- $\text{[math]}$ x²+2x=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，DE的最大值是 $\text{[math]}$ ，
当点D在AB上时，
DE=- $\text{[math]}$ x²+4x+2x-12=- $\text{[math]}$ x²+6x-12=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，DE的最大值是 $\text{[math]}$ ，
∴t为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，DE的最大值是 $\text{[math]}$ ；

（3）存在：当D点在OB上时，以CD，BD，BC为对角线作出来图形，可得到三个菱形；当D点在OA上时，还可以得到一个菱形，得出：F₁（- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，6- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）；F₂（ $\text{[math]}$ ，9）；F₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；F₄（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，6- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）过点B作BK⊥OA，由直角梯形OABC中，∠COA=90°，BC∥OA，OA=6，BC=3，AB= $\text{[math]}$ ，即可求得点B的坐标，设抛物线的解析式为y=ax²+bx，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先利用待定系数法求得直线OB与AB的解析式，再分别从当点D在OB上时与当点D在AB上时去分析，即可求得答案；
（3）由菱形的性质，分别从以CD，BD，BC为对角线去分析即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数与一次函数的综合应用以及菱形的性质等知识．题目综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．