Question

【题目】已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos ∠AOC＝.设OP＝x，△CPF的面积为y.

(1)求证：AP＝OQ；

(2)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）y＝，x的取值范围为 <x<10；（3）线段OP的长为8.

【解析】

（1）连接OD，根据两直线平行，内错角相等和等边对等角的性质可得出∠AOC＝∠ODC，再利用边角边的判断定理可证明△AOP≌△ODQ，根据全等三角形对应边相等即可证明AP＝OQ.

（2）过点P作PH⊥OA于点H，过点O作OG⊥CD于点G.根据两直线平行，内错角相等可证明△PFC∽△PAO，利用三角函数的计算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面积，再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分别取点F与点D和点C重合时，利用垂径定理和相似三角形的性质可求出x的值，因为点F与点C、D不重合，即可得出X的取值范围。

（3）根据题意可知，当△POE为直角三角形时，可分三种情况讨论：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分别讨论三种情况OP的长，并取符合（2）中x的取值范围的结果。

(1)证明：连结OD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC.

∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，

∴∠AOC＝∠ODC.

在△AOP和△ODQ中，

∴△AOP≌△ODQ，

∴AP＝OQ.

(2)作PH⊥OA，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G.

由cos∠AOC=可得OH＝x，

再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，

则S△AOP＝=3x.

∵CD∥AB，

∴△PFC∽△PAO，

∴，

∴=.

当点F与点C重合时，OP＝10.

当点F与点D重合时，

∵cos∠OCG＝＝cos∠AOC＝，

∴CG＝8，

∴CD＝16.

∵，

∴

解得x＝.

又∵点F与点C、D不重合，

∴x的取值范围为<x<10.

(3)解：当∠POE＝90°时，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；

当∠OPE＝90°时，则∠APO＝90°，

∴OP＝AO·cos∠COA＝8；

当∠OEP＝90°时，此种情况不存在．

∴线段OP的长为8.